Осевая симметрия своими руками

Осевая симметрия — виды, свойства и примеры фигур

Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.

Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же — центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Источник

Уроки дизайна вышивки. Урок 4. Симметрия

Урок 4. Симметрия, или правила спокойствия.

В этом уроке мы научимся создавать уравновешенные гармоничные композиции и откроем секрет хороших отношений в коллективе.

Что вы предпочитаете больше — конфеты или сосиски? Если бы вы были рыжим котом, думаю, что сомнений бы у вас не было. Поэтому, рассматривать понятие симметрии будем на примере с сосисками.

Симметрия в переводе с древнегреческого означает соразмерность, соответствие, неизменность, проявляемые при изменениях и преобразованиях чего-либо. В нашем случеае «что-либо» — это не кто-либо, а рыжий кот Василий, получивший от хозяйки за свою красоту и обаяние три свежих сосиски. Но, дело в том, что есть у него брат Кузьма, не менее обаятельный и привлекательный, но опаздавший к завтраку. На рисунке вверху вы видите их портрет. Кажется, что что-то не так, ощущается некое напряжение, назревает конфликт. В чем же причина? — в неуравновешенности, точнее в несправедливости. Усы, лапы, хвост те-же, а сосисок не дали.

Попробуем исправить ситуацию и дадим также и Кузе три свежих сосиски. — Совсем другое дело! Гармония и благодать, дружба, мир и всем хорошо. Это с кошачьей точки зрения, а с позиции геометрии, можно сказать, что мы выполнили преобразование отражения, то есть, получили зеркальную симметрию. Другими словами, если посадить Василия с сосисками рядом с зеркалом, то мы увидим в зеркале его копию, но в отраженном виде. Композиция стала абсолютно уравновешена. Древние греки часто использовали такой вид симметрии, полагая, что она олицетворяет идею гармонии и совершенства.

Если вам захочется глубоко изучить законы симметрии, то могу порекомендовать книгу: А.В. Шубников, В.А. Копцик «Симметрия в науке и искусстве». Мы же начнем с самого простого, необходимого и достаточного для создания дизайна вышивки, мы рассмотрим три вида симметрии: симметрия скольжения, отражения и вращения. Если вы со школьных времен боитесь геомерии — не бойтесь, смело пропускайте все текстовые описания и просто внимательно рассматривайте картинки — вы все обязательно поймете!

1. Симметрия скольжения.

Все очень просто, объяснение смысла этого вида симметрии дано в его названии. Допустим, вы хотите сделать фото Василия, сидящего на подоконнике и, для получения прекрасного снимка, просите его пару раз немного подвинуться вдоль подоконника на некоторое одинаковое расстояние. Последовательные перемещения Василия будут выглядеть примерно так, как показано на рисунке внизу, а расстояние, на которое перемещался Василий будет называться раппортом. Сам же подоконник в данном случае будет выполнять роль прямой а , вдоль которой двигался Василий и будет называться «осью переносов», в нашем случае, осью переносов кота:)

Посмотрите на рисунок внизу. Фигура А — (желтый треугольник) скользит вдоль прямой а, в результате чего мы получаем фигуру А’ — точную копию фигуры А, но смещенную на расстояние раппорта. Следует уточнить, что раппорт может быть меньше, равен или больше элемента по отношению к которому выполняется преобразование скольжения. Этот вид симметрии дает ощущение движения, очень распространен и используется при построении декоративных бордюров, а также, в сочетании с другими видами симметрии, для создания более сложных композиций.

2. Симметрия отражения (зеркальная).

Этот вид симметрии мы уже рассмотрели на примере с котом Василием в начале статьи. Уточним лишь рисунок, обозначив зеркало (а еще правильнее, след плоскости зеркала на плоскости рисунка) — прямую b. В рассматриваемом примере зеркало стоит строго вертикально и перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому мы видим лишь его торец. Отражение Василия является его точной копией, но, все что у Василия было слева — стало справа и наоборот (сосиски были слева, хвост справа, у отражения Василия все в другую сторону). Это свойство зеркала и, соответственно, зеркальной симметрии.

На рисунке внизу желтый треугольник (фигура А) отражается в зеркале, в результате, получаем фигуру А’ — точную копию фигуры А, но, все что было слева, стало на таком же расстоянии от плоскости симметрии (прямая b) справа. Это самый распространенный вид симметрии — мы видим его повсюду в природе, а также в искусстве, технике и даже в музыке, лингвистике и других науках.

Часто симметрии отражения и скольжения используются вместе. Если вам удастся рассадить братьев Василия зеркальными парочками, затем переместить эти парочки на одинковое расстояние друг от друга, то вы получите картину небывалой красоты и умиротворения.

На следующем рисунке вы видите схему построений комбинированной симметрии отражения и скольжения. Вначале фигура А отражается зеркально относительно вертикальной плоскости симметрии, а затем обе фигуры (первоначальная А и отраженная А’) становятся единым элементом и для этого элемента выполняется преобразование скольжения (перенос) вдоль оси а на расстояние раппорта.

Рассмотрим варианты применения симметрий отражения и скольжения для создания декоративных бордюров. Как мы договорились ранее, желтый треугольник — первоначальная фигура, зеленый треугольник — ее зеркальное отражение (в этом примере для отражения мы будем использовать только вертикальные и горизонтальные плоскости симметрии, перпендикулярные плоскости рисунка). Заметим также, что преобразование отражения может быть выполнено с одной и той же фигурой несколько раз, то есть, например, мы можем отразить фигуру относительно вертикальной плоскости симметрии, а потом, уже отраженную фигуру еще раз отразить относительно горизонтальной плоскости симметрии. На рисунке ниже даны 7 вариантов симметрии бордюров (подробнее в книге А.В. Шубников, В.А. Копцик «Симметрия в науке и искусстве»).

Справа, напротив каждого примера с треугольниками, помещен пример с растительными мотивами. Синяя стрелка на треугольниках дана для удобства восприятия, она же служит ориентиром того, как следует располагать растительные мотивы для создания бордюра с заданной симметрией.

Как видите, мы получили достаточно разнообразный набор бордюров. Обратите внимание, во всех примерах, за исключением примера а), после преобразований отражения, мы имеем уже составные мотивы, которые далее участвуют в преобразованиях переноса. Открою вам еще один большой секрет — вариантов бордюров на основе представленных схем симметрии может быть гораздо больше, если перед выполнением отражения попробовать подвигать мотив, подводя его ближе или дальше к плоскости отражения, а также прислоняя его под разными углами (в примере на рисунке использовано лишь горизонтальное положение мотивов). Кроме того, данные бордюры можно использовать для заполнения больших поверхностей, располагая их параллельными рядами.

3. Симметрия вращения.

Помните, у Пушкина: «И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом. «. Если нашего Василия отправить в такое путешествие вместе с его братьями, то получим вот такую картину (при условии, что они не будут догонять друг друга, а будут ходить гуськом, с одинаковым интервалом). Это и будет симметрия вращения. Точка, вокруг которой ходит Василий с братьями — на самом деле не точка, а проекция оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Эта самая ось будет называться осью симметрии.

На следующем рисунке симметрия вращения рассмотрена на примере с треугольниками. Фигура А осуществляет поворот вокруг оси симметрии (красная точка). Угол поворота на этом примере равен 90°, соответственно за полный оборот вокруг оси симметрии фигура совместится сама с собой: 360° : 90° = 4 раза. На рис. с) вы видите общую схему данного преобразования. Заменив треугольники на цветочные мотивы, получим декоративную розетку (рис. d). Данный вид симметрии позволяет передать вращательное «движение» в композиции.

На рисунке ниже дан еще один пример симметрии вращения, но уже совмещенной с зеркальной симметрией. Первое преобразование — отражение фигуры А относительно вертикальной плоскости симметрии. Второе преобразование — вращение плоскости симметрии, фигуры А и ее отражения — фигуры А’ вокруг оси симметрии. Фигуры А и А’ теперь становятся единым мотивом. Как и в предыдущем примере, угол поворота равен 90°. Вообще, угол поворота может быть и другим, вы просто должны предварительно решить — сколько копий вашего мотива должно уместиться в одном полном обороте, затем разделить 360° на выбранное вами количество повторений мотива. Например, вы хотите разместить 3 мотива, расчет будет таким: 360° : 3 = 120°. Если же вы решили расположить ваш мотив 7 раз, то угол поворота должен быть: 360° : 7 = 51,43° . Скажем, не очень удобный результат, но, если у вас есть транспортир, то вы с этим справитесь. Для удобства, приведу здесь таблицу «целочисленного» деления окружности, т.е. определения угла поворота, выраженного в целых градусах.

Источник

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу квадрат, треугольник и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот, как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на прямой.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника с осевой симметрией.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Измеряем расстояние от точки B до прямой l и от точки A до прямой l.
2. Проводим прямую от точки А через прямую l, выводя за ось симметрии.
3. Проводим прямую от точки B через прямую l, выводя за ось симметрии.
4. Соединяем точки отрезка A₁B₁.

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. По аналогии с предыдущим примером сначала соединяем точки ABC с точкой O.
2. Выводим отрезки за точку О.
3. Измеряем отрезки AO, BO, CO и чертим такие же на противоположной стороне.
4. Получаем два центрально-симметричных треугольника.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки равные отрезкам АО и АB.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1 N1.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точки N и N1 на прямую MМ1

Задачка 2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно оси a.

Источник