Модель тригонометрической окружности своими руками

Тригонометрический круг.

Скачать шаблоны для тригонометрии.

Здесь голубая сетка — линии декартовой системы координат. Масштаб — 1:10. В этом масштабе радиус окружности, равный единице, составляет 10 клеточек. sin30° = 1/2 составляет 5 клеточек, и т.п. Можно примерно (на глаз) отмечать или определять значения синусов и косинусов.
Зеленая радиальная сетка — лучи с шагом 15° или, что одно и то же, с шагом π/12. Удобно рисовать углы в радианах или градусах и ориентироваться в их величинах и расположении относительно четвертей круга.

Лучше всего использовать смешанную сетку — рисунок слева. Этот рисунок вы можете скачать себе на компьютер и распечатать на черно-белом принтере. Получится тонкая сетка линий, как бы нарисованных карандашом, поверх которой вам будет удобно делать свои чертежи для решения задач по тригонометрии. На втором рисунке показан пример использования такой смешанной сетки для того, чтобы проверить правильно ли определены значения sin(−π/3) и cos(−π/3). Остальные примеры и пояснения к ним расположены ниже.

Примеры.

4/π ≈ 4/3,14 ≈ 1,28
Значит 4 радиана это угол 1π + 0,28π. Кусочек 0,28π больше, чем π/4 = 0,25π, и меньше, чем π/3 ≈ 0,33π
Рисуем луч внутри сектора с границами π + π/4 и π + π/3. (Здесь серым шаблон — то, что получится после распечатки, фиолетовым — то, что отметите вы вручную.)

Отмечаем проекцию на вертикальную ось — ось синусов. Попали на отрицательный участок оси в 8-ю клеточку из 10-ти. Следовательно, sin4 ≈ −8/10 = −0,8.
Для сравнения — с помощью калькулятора получим ответ −0,7568.

Те, кто лучше ориентируется при измерении углов в градусах, могут вспомнить, что 1 радиан равен приблизительно 57,3 градуса. Соответственно, 4 рад ≈ 229º. Попробуйте самостоятельно начертить этот луч на круге.

Пример 2. Требуется убедиться, что правильно запомнились табличные значения тригонометрических функций для характерных («геометрических») углов.

Вспоминаем, что:
1/2 = 0,5 = 5/10 – пять клеток от центра окружности;
√2 _ /2 ≈ 1,4142/2 = 0,707 ≈ 7/10 – семь клеток от центра окружности (чуть дальше, чем граница седьмой клетки);
√3 _ /2 ≈ 1,7321/2 = 0,866 ≈ 8,7/10 – чуть дальше, чем середина девятой клетки.
Отмечаем значения синусов и косинусов на синей сетке, значения углов — на зелёной.
Совмещаем обе сетки. Если всё правильно, то в результате получатся картинки, аналогичные следующим.

Замечание.

Не забывайте – значения синусов и косинусов любых углов по абсолютной величине не превышают 1. Если вы пытаетесь записать в ответ большее число, то ищите ошибку. Возможно, вы пишите ответ в клеточках, а не в заданных единицах?

mathematichka@yandex.ru

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, © mathematichka. Копирование рисунков на других сайтах запрещено. Ставьте ссылку.

Источник

творческий проект «Модель тригонометрической окружности»
проект по технологии на тему

творческая работа учащихся по улучшению материально-технической базы школы

Скачать:

Вложение	Размер
model_trigonometricheskoy_okruzhnosti.doc	60.5 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ «СОШ п. Муслюмово ж.д. станции»

«Модель тригонометрической окружности»

Подготовили: Галимов М. Филатов В.

Проверил: Галимов А.З.

п. Муслюмово ж.д. станции.

Обоснование возникшей проблемы и потребности

Данный проект выполнен по просьбе учителя математики для успешного изучения учащимися тригонометрических функций. Не секрет, что подобные модели способствуют лучшему пониманию учебного материала. Но купить подобные изделия довольно затруднительно. Чтобы достигнуть этого, вовсе нет необходимости затрачивать большие средства. Для этого необходимо многое сделать своими руками.

Главное в этом проекте то, что изделие можно сделать самостоятельно. При выборе данного проекта были учтены следующие моменты.

В процессе изготовления этого изделия используются приобретенные знания, умения и навыки в области математики, физики, химии и технологии. Изготовление этого изделия способствует закреплению ранее изученного материала таких тем, как «Разметка», «Пиление», «Сверление», «Ремонт мебели в быту».

Оснащение учебных мастерских позволяет выполнить этот проект, данная работа не опасна. В процессе выполнения можно ознакомиться с технологией выполнения операций электролобзиком, приобрести практические навыки по изготовлению изделий..

Изготовив такой макет, можно внести личный вклад в оформление кабинета, сделав приятный подарок своим учителям.

При изготовлении макета требуется соблюдать точность и аккуратность.

Внешний вид изделия

5 х 30

Болт с 2-мя гайками

Разметить по размеру и выпилить из заготовки – листа многослойной фанеры деталь основания

Линейка, столяр-ный угольник, ножовка

Зачистить и отделать кромки детали основания

Напильник, наж-дачная бумага.

Выполнить разметку окружности. В центре окружности просверлить отверстие диаметром 6 мм.

Циркуль, сверло, шило, электродрель

Разметить по размеру и выпилить из заготовки – листа многослойной фанеры деталь длинной стрелки

Линейка, столяр-ный угольник, электролобзик

Зачистить и отделать кромки детали длинной стрелки

Напильник, наж-дачная бумага.

Разметить по размеру и выпилить из заготовки – листа многослойной фанеры деталь короткой стрелки

Линейка, столяр-ный угольник, электролобзик

Зачистить и отделать кромки детали короткой стрелки,

Напильник, наж-дачная бумага.

Разметить и просверлить на длинной стрелке 2 отверстия диаметром 6 мм.

Сверло, шило, электродрель

Разметить и просверлить на короткой стрелке 1 отверстие диаметром 6 мм.

Сверло, шило, электродрель

С помощью заклепки-оси свободно закрепить на длинной стрелке короткую стрелку

При помощи болта и 2 гаек закрепить длинную стрелку к основанию

Выполнить необходимую зачистку, покрыть олифой, после высыхания покрыть лаком.

Наждачная шкурка, кисть.

1. Расчет стоимости древесных материалов:

Для изготовления модели тригонометрической окружности понадобилось фанеры:

1/ Основание: Sосн. = 70см. х 70см. = 4900 кв.см. = 0,49 кв.м.

2/ Стрелка длинная: Sдл.стр. = 45см. х 5см. = 225 кв.см. = 0,0225 кв.м.

3/ Стрелка короткая:Sкор.стр. = 34см. х 5см. = 170 кв.см. = 0,017 кв.м.

Итого израсходовано фанеры: Sф = 0,49кв.м. + 0,0225 кв.м. + 0,017 кв.м. = 0,5295 кв.м.

Находим стоимость израсходованных древесных материалов (фанеры): Условная цена одного листа фанеры площадью 4,6 кв.м. – 1200 рублей. Стоимость израсходованной фанеры: Сф. = (1200 х 0,5295)/4,6 = 138 рублей.

1. Расчет стоимости электроэнергии:

Для выполнения распиловочных и сверлильных работ были использованы электролобзик и электродрель мощностью 0,3 квт. Для выполнения работ понадобилось 0,5 часа. Находим стоимость израсходованной электроэнергии. Цена 1 квт.ч. = 2,04 рубля. Таким образом стоимость израсходованной электроэнергии:

Сэл. = 0,3 х 0,5 х 2,04 = 0,3 рубля.

1. Расчет стоимости крепежных материалов:

Болты и гайки были куплены в магазине. Скр.мат. = 12 рублей.

Таким образом общая стоимость изделия составляет:

Сизд. = Сф. + Сэл. + Скр.мат. = 138 + 0,3 + 12 = 150,3 рубля.

Правила безопасности во время работы.

При выполнении операций ручной обработки древесины необходимо:

1.Правильно надеть спецодежду, проверить наличие инвентаря, разложить на верстаке инструменты. На верстаке не должно быть ничего лишнего. 2. Надежно закреплять обрабатываемый материал. 3. Пользоваться инструментом только по назначению, инструмент должен быть исправным, хорошо настроенным и заточенным. 4. Технологические операции (пиление, строгание, долбление, соединение деталей) выполнять на верстаке в установленных местах, использовать приспособления, упоры и подкладные доски. 5. Не допускать захламленности верстака отходами, стружками. Своевременно возвращать инструменты общего пользования. 6. Не отвлекаться во время работы, следить за правильными приемами работы. 7. После окончания работы остатки материалов, незаконченные детали изделия сдать дежурному или учителю, положить на место инструменты и приспособления, убрать свое рабочее место. Запрещается сдувать стружку ртом или сметать рукой.

Контроль качества, экологическое обоснование и самооценка.

Готовое изделие отвечает следующим требованиям:

Изделие изготовлено из древесного материала – многослойной фанеры. Все детали изготовлены аккуратно в соответствии с вышеуказанной технологией. Изделие представляет собой законченную конструкцию. Внешний вид изделия производит благоприятное впечатление.

Изделия из многослойной фанеры широко применяются в мебельном производстве. Так как они покрываются олифой, а затем мебельным лаком – они экологически безопасны. Изделие изготовлено собственными силами, удобно в использовании, обошлось намного дешевле.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В данной работе описан метод решения тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности. Материал может быть использован при разработке факультативных занятий по алгебре в 10 класс.

Интерактивная презентация в котоорой рассматривается единичная окружность, соответствие между точкой единичной окружности и углом поворота.Новые знания закрепляются в игровой форме.

Материал зачетной работы предназначен для учащихся 10 класса заочной формы обучения и самообразования.

Работы выполнены в технике «коллаж». Декоративная отделка древесины.

Тригонометрический диктант 10 класс. Координаты точек на единичной окружности. Презентация и раздаточный материал для обучающихся.

Источник

Тригонометрический круг со всеми значениями, круг синусов и косинусов, линия, ось тангенса на окружности, как пользоваться и находить точки

В каждой профессии существуют свои инструменты, обеспечивающие решение и качественное выполнение определенных задач. Математики применяют тригонометрический круг, позволяющий легко и быстро вычислить значение какой-либо функции. Однако не все могут им правильно пользоваться, поскольку не понимают основных понятий.

Общие сведения

Для правильного решения тригонометрических задач следует изучить основные понятия, формулы, а также методы нахождения основных величин. Раздел математики, изучающий функции косинуса, синуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, называется тригонометрией. Окружность, которая используется для решения геометрических задач на плоскости, имеет единичный радиус.

Значения функций, которые можно по ней находить, называются тригонометрическими. Однако существует множество способов нахождения их значений, но в некоторых ситуациях при использовании формул приведения решение затянется на продолжительное время, а вычисления будут громоздкими. Чтобы этого избежать, нужно использовать тригонометрический круг со всеми значениями. С его помощью также можно определить, является ли функция четной или нечетной.

Углы и их классификация

Перед тем как понять основное назначение тригонометрических функций, следует обратить внимание на классификацию углов. Она является важной для вычисления тригонометрических выражений. Углы в математических дисциплинах делятся на следующие типы:

К первому типу относятся углы любой размерности градусной единицы измерения, которая не превышает 90 (а Информация о функциях

Тригонометрических функций всего четыре вида: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существует столько же типов обратных функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg). Они получили широкое применение не только в математических задачах, но также используются в физике, электронике, электротехнике и других дисциплинах. Основной их особенностью считается возможность представления какого-либо закона.

Например, зависимость амплитуды напряжения переменного тока от времени описывается следующим законом: u = Um * cos (w*t) (графиком является косинусоида). Гармонические звуковые колебания также подчиняются определенному закону, в котором присутствует тригонометрическая функция. Кроме того, можно находить значения корня тригонометрического уравнения.

Синусом угла называется величина, равная отношению противолежащего катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе. Следовательно, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение величины противолежащего катета к прилежащему. Котангенс является обратной функцией тангенсу, т. е. отношение прилежащего к противолежащему.

Функции arcsin, arccos, arctg, arcctg применяются в том случае, когда нужно найти значение угла в градусах или радианах. Вычисления выполняются по специальным таблицам Брадиса или с помощью программ. Также можно использовать тригонометрическую окружность.

Тригонометрический круг

Чтобы воспользоваться тригонометрической окружностью для решения задач, нужны такие базовые знания: понятие о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе, системе координат и теореме Пифагора. Для построения единичной окружности используется декартовая система координат с двумя осями. Точка «О» — центр пересечения координатных осей, ОХ — ось абсцисс, ОУ — ординат.

Для решения задач различного типа применяется и теорема Пифагора. Она справедлива только для прямоугольного треугольника (один из углов — прямой). Ее формулировка следующая: квадрат гипотенузы в произвольном прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следует также знать основные соотношения между функциями острых углов в заданном прямоугольном треугольнике:

Существуют и другие тригонометрические тождества, но для работы с кругом этого перечня будет достаточно.

Построение «инструмента»

Построить окружность, которая ускорит процесс решения задач, довольно просто. Для этого потребуются бумага, карандаш, резинка и циркуль. Далее необходимо нарисовать любую немаленькую окружность. После этого отметить ее центр карандашом, поставив точку. Пусть она будет называться «О». Через эту точку следует провести две перпендикулярные прямые (угол пересечения равен 90 градусам). Обозначить их следующим образом: «х» (горизонтальная) и «у» (вертикальная).

Окружность является единичной, но не стоит рисовать ее такой, поскольку работать будет неудобно. Этот прием называется масштабированием. Он широко применяется практически во всех сферах человеческой деятельности. Например, инженеры не чертят двигатель космического корабля в натуральную величину, поскольку с таким «рисунком» будет неудобно и невозможно работать. Они используют его макет.

Окружность пересекается с осями декартовой системы координат в 4 точках со следующими координатами: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Области, которые делят декартовую систему координат на 4 части, называются четвертями. Их четыре:

• Первая состоит из положительных координат по х и у.
• Вторая имеет по х отрицательные и положительные по у.
• Третья — только отрицательные значения.
• Четвертая — положительные значения по х и отрицательные по у.

Исходя из этих особенностей, определяется числовой знак функции, позволяющий определить ее четность и нечетность. Кроме того, на ней следует отметить углы следующим образом: 0 и 2ПИ соответствует точке с координатами (1;0), ПИ/2 — (0;1), ПИ — (-1;0) и 3ПИ/2 — (0;-1).

Готовый макет

Для решения задач специалисты рекомендуют иметь рабочий и готовый макеты тригонометрических окружностей. Первый применяется для нахождения значений нестандартных углов (например, синуса 185 градусов). Тригонометрическим кругом (рис. 1) удобно пользоваться в том случае, когда значение угла является стандартным (90, 60 и т. д.).

Рисунок 1. Готовый макет тригонометрического круга синусов и косинусов.

Для нахождения необходимых значений объединяют две фигуры — единичную окружность и прямоугольный треугольник. Гипотенуза последнего равна 1 и соответствует радиусу окружности. Ось ОХ — косинусы, ОУ — синусы. С помощью этого «инструмента» определение синусов и косинусов становится намного проще. Для нахождения значения sin(30) необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

• Отметить угол на окружности и достроить его до прямоугольного треугольника.
• Если катет лежит напротив угла в 30 градусов, то он равен 0,5 от длины гипотенузы.
• sin(30) = 1 * 0,5 = 0,5.

Для нахождения косинуса необходимо использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает sin и cos: (sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1. Из равенства величина cos(30) = sqrt[1 — (sin(30))^2]= sqrt[1 — 0,5^2] = sqrt(3) / 2.

Однако после всех вычислений следует выбрать знак функции. В данном случае угол находится в первой четверти. Следовательно, функция имеет положительный знак. Для нахождения тангенса и котангенса можно воспользоваться следующими формулами: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a). Подставив значения синуса и косинуса, можно определить значение tg: tg(30) = 0,5 / (sqrt(3) / 2) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3. Тогда котангенс можно найти двумя способами:

• Через известный тангенс: ctg(30) = 1 / (1 / sqrt(3)) = sqrt(3).
• Использовать основное отношение: ctg(30) = (sqrt(3) / 2) / (1/2) = sqrt(3).

Вычислить значения синуса и косинуса для угла 60 градусов очень просто. Для этого нужно воспользоваться основными тождествами: sin(60) = сos(30) = sqrt(3) / 2, cos(60) = sin(30) = 1/2, tg(30) = ctg(60) = sqrt(3) / 3, tg(60) = ctg(30) = sqrt(3). Значения для 45 градусов определяются следующим образом:

• Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов является равносторонним (катеты равны).
• (sin(45))^2 + (cos(45))^2 = 1.
• 2 * (sin(45))^2 = 1.
• sin(45) + cos(45) = sqrt(2) / 2.

Тангенс и котангенс равен 1. Если угол равен 90, то необходимо внимательно посмотреть на рисунок 1. Следовательно, sin(90) = 1, cos(90) = 0, tg(90) = 1 и ctg(90) не существует. Линия тангенса на окружности не отображается. В этом случае нужно пользоваться основными тригонометрическими тождествами.

Правила использования

Инструмент позволяет легко и быстро находить значения тригонометрических функций любых углов. Если при решении задачи требуется найти sin(270), то нужно выполнить простые действия:

• Пройти против часовой стрелки (положительное направление) 180 градусов, а затем еще 90.
• На оси синусов значение составляет -1 (точка лежит на оси).

Существуют задачи, в которых угол представлен отрицательным значением. Например, нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла (-7ПИ/6). В некоторых случаях заданное значение следует перевести в градусы: -7ПИ/6 = -210 (градусам). Если в условии отрицательный угол, то движение следует осуществлять по часовой стрелке от нулевого значения (пройти полкруга, а затем еще 30). Можно сделать вывод о том, что значение -210 соответствует 30. Следовательно, синус вычисляется следующим образом: sin(-210) = -(sin(ПИ + 30)) = — 1/2, cos(-210) = sqrt(3)/2, tg(-210) = sqrt(3)/3 и ctg(-210) = sqrt(3).

Пример случая, когда нет необходимости переводить радианы в градусы, является следующим: нужно вычислить значения тригонометрических функций угла 5ПИ/4. Необходимо расписать значение угла таким образом: 5ПИ/4 = ПИ + ПИ/4. Против часовой стрелки следует пройти половину круга (ПИ), а затем его четвертую часть (ПИ/4). Далее нужно спроецировать координаты точки на ось синусов и косинусов. Это соответствует значению sqrt(2)/2. Тангенс и котангенс заданного угла будут равны 1.

Встречаются задачи, в которых значение угла превышает 360 градусов. Например, требуется найти значения тригонометрических функций угла (-25ПИ/6). Для решения необходимо разложить угол следующим образом: (-25ПИ/6) = — (4ПИ + ПИ/6). Можно не делать обороты, поскольку 4ПИ соответствует двойному обороту и возврату в точку (-ПИ/6). Это объясняется периодом функций синуса и косинуса, который равен 2ПИ. Значения функций sin, сos, tg и ctg равны следующим значениям: — 1/2, sqrt(3)/2, sqrt(3)/3 и sqrt(3) соответственно.

Таким образом, тригонометрический круг позволяет оптимизировать вычисления в дисциплинах с физико-математическим уклоном, в которых используются тригонометрические функции. Не имеет смысла устанавливать дополнительное программное обеспечение, пользоваться таблицами, поскольку это занимает некоторое время. При помощи этого «универсального инструмента» можно найти значение любого угла.

Источник